Funkcija, tolydi visiems iracionaliems skaičiams, tačiau trūki visiems racionaliems

Apibrėžkime funkciją f(x) taip:
f(p/q)=1/q,  jei p/q yra racionalus skaičius su mažiausiais nariais, o q>0;
f(x)= 0,  kai x yra iracionalus skaičius.

Kartais ši funkcija vadinama „liniuote“, nes jos grafikas primena liniuotės sužymėjimą. O jos nepaprasta savybė yra ta, kad ji yra tolydi visiems iracionaliems skaičiams, tačiau trūki visiems racionaliems skaičiams. Jos trūkumas gana akivaizdus, tačiau jos tolydumą sunkiau įrodyti. Kalbant vaizdžiai, racionalūs skaičiai negali priartėti prie iracionalaus x kitaip, nei jų vardikliui artėjant į begalybę, tam, kad f artėtų prie 0.

Formaliai. Paimkim bet kokį e>0. Tada egzistuoja sveikas skaičius q toks, kad 1/q < e. Panagrinėkime visus racionalius skaičius p/q!. Kadangi x yra iracionalus, jis negali būti lygus nė vienam šių skaičių. Iš to, kaip p/q! išsidėstę tarp skaičių (p=0, 1, 2, …), toje sekoje yra skaičius, kuris yra arčiausia x (kad tai įrodytume, turime pasinaudoti sveikų skaičių savybėmis). Imkim d>0, kuris yra mažesnis nei to nario atstumas nuo x. Tada atstumu d nuo x negali būti jokio racionalaus skaičiaus, kurio vardiklis būtų mažesnis ar lygus q, tad visų skaičių, esančių mažesniu už d atstumu nuo x, funkcijos reikšmės bus mažesniu atstumu nei e nuo f(x), taigi f(x) yra tolydi kiekvienam iracionaliam skaičiui.

Pastaba. Ši funkcija turi daugelį pavadinimų. Ji vadinama kukurūzų spragėsių, suskaičiuojama debesų, liniuotės, Rymano, žvaigždžių virš Babilono funkcija. Tačiau oficialiai tai Tomo funkcija (Karlo Johano Tomo garbei). Ji yra atskiras Dirichlė funkcijos variantas (Dirichlė funkcijos reikšmės yra lygios 1 racionaliems skaičiams ir 0 – visiems kitiems.

Mazgų teorija
Meilės sinusoidė
Monte-Karlo metodas
Jų begalinė išmintis
Iniciatyva: Matematikos keliu
Matematikos pradžia Lietuvoje
Littlewood teiginys apie aproksimaciją
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Ar jau rūksta dūmai? Navier Stokes lygtys
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Kita skaičiavimo metodų istorijos pusė
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Netiesinis mąstymas: išspręsti neišsprendžiamą
Neapibrėžtumas, tikimybė ir prognozė
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Skaičiai B ir jų kvantinės sistemos
Proveržis skaičiuojant skaidinius
Izingo modelis įmagnetinimui
Kur viešpatauja chaosas?
Dioklas ir jo cizoidė
Harmoninės eilutės
Algebros istorija
Dalyba iš nulio
Černo medalis
Vartiklis