Žaidimų teorijos panaudojimas

Pažiūrėkime, į ką reikia atsižvelgti, norint pelningai pasinaudoti žaidimų teorija. Realistiniu pavyzdžiu pasirinkime arbitražinį susijungimą.

Tarkim, kad įmonė P („pirkėjas“) siūlo vieną savo akciją už dvi T („taikinys“) įmonės akcijas. Iki sandorio P akcija parduodama už 50 Lt, o T – už 20 Lt; tad visi T akcininkai turėtų sutikti su tokiu sandoriu, o T akcijų vertė turėtų pasiekti 25 Lt. Jei T akcijos pakils tik iki 24 Lt, ji suteikia arbitražinio susiteikimo progą. Investuotojai gali nusipirkti dvi T akcijas už 48 Lt, kad už jas gautų viena P akciją (50 Lt vertės) – ir taip gautų saugų (nerizikingą) 2 Lt pelną.

Nagi, tai nėra jau taip nerizikinga, dėl ko ir senesnis šios strategijos pavadinimas buvo „rizikingas arbitražas“, kas rodo prieštaravimą (nes „arbitražas“ ir reiškia saugią naudą). Pavadinimas parodo, kad tai gali būti labai mažos rizikos strategiją, jei viskas vyktų teisingai, tačiau visad lieka galimybės prarasti pinigus. Didžiausia rizika yra ta, kad sandoris neįvyks ar sąlygos bus persvarstomos. Jei sandoris neįvyks, T akcijų vertė gali vėl nukristi iki 20 Lt ar net žemiau, nes sandorio nutrūkimas yra bloga naujiena apie T, - o tai reikš 8 Lt ar daugiau praradimą.

Statistinis požiūris į arbitražinį susijungimą yra istorinių sandorių analizė siekiant nustatyti svarbiausius veiksnius, kurie leidžia prognozuoti sėkmę ar nesėkmę. Kai kurie svarbūs kintamieji yra priemoka (pvz., 25%, nes pasiūlymas yra 25 Lt už 20 Lt akcijas), pirklas (pvz., 4,17%, nes arbitražo narys pasiūlė 2 Lt pelną 48 Lt atvejui), išankstinis paskelbimas apie P ir T akcijų judėjimą, planuojama sandorio trukmė, sandorio pobūdis (akcijos, gryni pinigai ar kt.), ar sandoris yra svarbus P verslui, ar yra teisinių aspektų, ar yra kitų potencialių pirkėjų ir daugiau. Ta analizė gali leisti susidaryti kriterijus, leidžiančius spręsti, kokie sandoriai yra verti, kiek kapitalo galima skirti kiekvienam jų, ir kada pasitraukti, jei padėtis ims keistis.

Žaidimų teorijos taikymas prasideda sprendimų darytojų nustatymu. Tarp galimų kandidatų yra P vadovaujantys asmenys, sandorio finansuotojai, T vadovybė, T akcininkai, kiti potencialūs T pirkėjai, kiti tikėtini investuotojai bei teisinio reguliavimo organizacijos. Ne visi jų svarbūs bet kuriam sandoriui, tačiau sudėtingais atvejais veikėjų gali būti netgi daugiau. Kiekvienam sprendimus priimančiam būtina žinoti, kokius sprendimus jie gali priimti, jų „rezultatyvumo“ funkcija, t.y., kaip smarkiai jie vertina kiekvieną galimą baigtį. Išplėtotuose žaidimų teorijos taikymuose gali prireikti žinoti, kokia informaciją turi kiekvienas sprendimo darytojas ir kokios sąjungos ar mokėjimai iš trečių šalių yra galimi.

Dažniausia klaida yra dalykus padaryti per sudėtingus. Tai tokia pati klaida, kaip duomenų minkyme (data mining), kai bandoma sukurti modelį, puikiai veikiantį su ankstesniais duomenimis, tačiau visai nepadeda prognozuojant ateitį. Abiejų jų privalumas yra protingai paprasti (tačiau ne perdaug) tinkami modeliai, galintys duoti naudingus rezultatus. Mums nereikia modelio su šimtu veikėjų ir potencialiomis dešimtimis galimų baigčių. Galime protingai apsiriboti keliais pagrindiniais žaidėjais, sprendimais bei kriterijais.

Kita klaida kyla iš tai, kad žaidimų teorijos pagrindai ypač pabrėžia nulinės sumos žaidimus, kuriuose tai, ką laimi vienas, yra tai, ką pralošia kitas. Tačiau realiame gyvenime paprastai turine nenulinių sumų žaidimus, kurie vyksta įdomiausiai. Juose reikia atsižvelgti į tai, kad žaidėjai nori kitų dalykų, ne vien jūsų pinigų!

---

Nešo pusiausvyra

Nešo pusiausvyra žaidimų teorijoje vadinami tokie dviejų ar daugiau žaidėjų žaidimo sprendimai, kai nė vienas žaidėjas negali padidinti laimėjimo vienpusiškai pakeitęs savo sprendimą, kai kiti savo sprendimo nekeičia. Ši pusiausvyros koncepcija pavadinta ją aprašiusio Džono Forbso Nešo garbei. Kadangi ją pirmąkart 1838 m. panaudojo Antuanas A. Kurno savo oligopolijos teorijoje (Kurno žaidime), tai kai kurie ją vadina Nešo-Kurno pusiausvyra. Tačiau Nešas pirmasis savo disertacijoje „Nekooperatyviniai žaidimai“ (1950) parodė, kad šios pusiausvyros turi egzistuoti visuose baigtiniuose žaidimuose su bet kokiu žaidėjų skaičiumi. Iki tol Džonas fon Neimanas ir O. Morgermšeteris tebuvo tai įrodę tik 2-jų žaidėjų žaidimams su nuline suma (1947).

Formalus apibrėžimas. Tegu (S,f) – n žaidėjų žaidimas, kur S – švarių strategijų sąranka, o f - laimėjimų sąranka. Kai kiekvienas žaidėjas i iš S pasirenka strategiją x_i, jis gauna laimėjimą f_i(x). Beje, laimėjimas priklauso ne tik nuo pasirinktos strategijos, bet ir nuo kitų žaidėjų pasirinktų strategijų. Strategija x^* vadinama Nešo pusiausvyra, kai jos pakeitimas nenaudingas nė vienam žaidėjui, t.y.
f_i(x^*) >= f_i(x_i, x^*_-i)

Pavyzdys

	A žaidžia S1	A žaidžia S2
B žaidžia S1	-1; +1	+1; -1
B žaidžia S2	+1; -1	-1; +1

„Matching pennies“ žaidime, žaidėjas A praranda tašką, jei žaidėjas A ir žaidėjas B laikosi tos pačios strategijos, ir žaidėjas A laimi tašką, jei abu žaidėjai laikosi skirtingų strategijų. Siekdami paskaičiuoti mišrios strategijos Nešo pusiausvyrą, priskirkime tikimybę p, kad A laikosi S1 ir tikimybę 1-p, kad laikosi S2. Tada priskirkime tikimybę q, kad B laikosi S1 ir 1-q, kad B laikosi S2.

Tada laimėjimai:
E[A žaidžia S1] = (-1)q +(+1)(1-q) = 1-2q
E[A žaidžia S2] = (+1)q +(-1)(1-q) = 2q-1
E[A žaidžia S1] = E[A žaidžia S2] => 1-2q = 2q-1 => q = 1/2

E[B žaidžia S1] = (+1)p +(-1)(1-p) = 2p-1
E[B žaidžia S2] = (-1)p +(+1)(1-q) = 1-2p
E[B žaidžia S1] = E[B žaidžia S2] => 1-2p = 2p-1 => p = 1/2

Taigi mišrios strategijos Nešo pusiausvyra šiam žaidimui, kai atsitiktinai pasirenkamos S1 ir S2, yra su vienodomis tikimybėmis.

Pavyzdys. Konkurencijos žaidimas

Imkime dviejų žaidėjų žaidimą, kai žaidėjai vienu metu renkasi skaičių tarp 0 ir 3. Abu jie gauna taškų kiekį, atitinkantį mažesnį skaičių. Tačiau pasirinkęs didesnį skaičių, kitam turi atiduoti 2 taškus.

Šis žaidimas teturi vieną gryną Nešo pusiausvyrą, aki abu žaidėjai renkasi 0. Bet kokia kita strategija gali būti pagerinta, jei vienas žaidėjų rinksis vienu mažesnį skaičių nei kitas.

	B renkasi 0	B renkasi 1	B renkasi 2	B renkasi 3
A renkasi 0	0, 0	2, -2	2, -2	2, -2
A renkasi 1	-2, 2	1, 1	3, -1	3, -1
A renkasi 2	-2, 2	-1, 3	2, 2	4, 0
A renkasi 3	-2, 2	-1, 3	0, 4	3, 3

Tačiau, jei žaidimą pakoreguosime taip, kad abu žaidėjai laimi nurodytą kiekį, jei abu pasirenka tą patį skaičių, o priešingu atveju nieko nelaimi, tada yra 4-ios Nešo pusiausvyros: (0,0), (1,1), (2,2), (3,3).

Sąlygos Nešo pusiausvyrai taikyti

• Visi žaidėjai siekia maksimalaus laimėjimo;
• Žaidėjai tiksliai laikosi strategijų;
• Žaidėjai turi pakankamai žinių, kad išspręstų uždavinį;
• Žaidėjai žino visų kitų žaidėjų pusiausvyros strategijas;
• Žaidėjai tiki, kad nukrypimas nuo strategijos nesukels nukrypimų visiems kitiems žaidėjams;
• Visi žaidėjai žino, kad jie tenkina šias sąlygas, tame tarpe ir šią. Jie ne tik turi jas tenkinti, bet ir žinoti, kad jie jas tenkina, ir žinot i, kad jie žino, kad jie jas tenkina ir t.t.

Kada sąlygos nėra tenkinamos

• Pirma sąlyga netenkinama, jei žaidimas nekorektiškai aprašo žaidėjo, siekiančio maksimizuoti laimėjimą, savybes. Pvz., kalinio silema nėra dilema, jei kuriam nors iš žaidėjų patinka būti įkalintu;
• Sąmoningas ar netyčinis suklydimas (klaida) žaidimo eigoje;
• Pusiausvyra gali egzistuoti, tačiau ji nežinoma žaidėjams, tarkim, dėl žaidimo sudėtingumo (pvz., šachmatuose). O jei ir žinima, tai, galbūt, ne visiems žaidėjams, kaip žaidžiant tic-tac-toe su mažu vaiku, desperatiškai trokštančiu laimėti;
• Žaidėjai, nepasitikintys kitų žaidėju racionalumum, gali imtis kontr-strategijų numanomam nekorektiškam kitų žaidėjų elgesiui. Tai pagrindinė nuostata „Viščiuko“ ar rankų lenkimo žaidimuose.

Literatūra

1. A. Rubinstein, M.J. Osborne. A course in game theory, 1994
2. J. Nash. Non-Cooperative Game// The Annals of Math., 1951, 54 (2)
3. D. Moreno, J. Wooders. Coalition-Proof Equilibrium// Games and Economic Behavior, 1996, 17
4. R. Gibbons. Game Theory for Applied Economists, 1992

Matroidai
Va tai šeimynėlė!
Loterijų matematika
Monte-Karlo metodas
Pinavija – kelius vija
Ar įrodytas abc teiginys?
Puankarė teiginio įrodymas
Bendroji reliatyvumo teorija
Ant sveiko proto svarstyklių
Iniciatyva: Matematikos keliu
Kada statistika gali meluoti?
A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
Geriausios alternatyvos parinkimas
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Greitesnės nei greitos Furjė transformacijos
Nepaprastai suderinta Visatos sandara
Simpsonų trauka ir žaidimas skaičiais
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Gausas – iškirstas langas į 19 a.
Mokslininkui nereikia matematikos!
P-NP: Ant sveiko proto svarstyklių
Revoliucija mazgų teorijoje
Kibernetikos istorijos etiudai
Kur viešpatauja chaosas?
Tūkstantmečio problemos
Meilės sinusoidė
Vartiklis