Graikų matematikai: Euklidas. Vartiklis

Euklidas iš Aleksandrijos (apie 365-275 m. pr.m.e.) – senovės graikų matematikas, gyvenęs ir dirbęs Aleksandrijoje, kurio pagrindinis kūrinys yra „Pradmenys“ (arba „Elementai“).

Tiksli Euklido gyvenimo vieta bei gyvenimo detalės nėra žinomos. Tikriausiai jis gyveno valdant Ptolomėjui I Gelbėtojui (306-233 m. pr.m.e.). Apie Euklidą daugiausia žinoma iš Proklo, Stobėjaus^*) ir Papo iš Aleksandrijos komentarų. Seniausiose išlikusiose „pradmenų“ kopijose nėra minimas Euklido vardas (daugumoje jų sakoma, kad tai „iš Theono redakcijos“). Viduramžiais Euklidas kartais būdavo supainiojamas su Euklidu iš Mėgaros (šimtmečiu anksčiau gyvenusiu sofistu, Sokrato mokiniu). Proklas nurodė, kad Euklidas vyresnis už Platono ratelį, tačiau jaunesnis už Archimedą ir Eratosfeną. Čia paminima, kad Archimedas pasakojo, kad Ptolomėjus paklausė Euklido, ar yra trumpesnis kelias geometrijos mokymuisi nei jo „Pradmenys“, ir Euklidas atsakė, kad geometrijoje nėra karališkų kelių. Kitą anekdotą apie Euklidą pateikė Stobėjus^*), žr. toliau >>>>>

Euklidas buvo aktyvus Aleksandrijos bibliotekos veikloje ir, galbūt, studijavo Platono Akademijoje Atėnuose. Jo kūriniai: „Pradmenys“ (pirma spausdinta kopija pasirodo 1482 m.), „Duomenys“ (kas būtina figūros apibrėžimui), „Apie figūrų skaidymą“ (išliko dalinai ir tik 8 a. vertime į arabų kalbą), „Reiškiniai“ (sferinės geometrijos taikymai astronomijoje), „Optika“ (apie tiesinį šviesos sklidimą), „Katoptika“ (matematinė veidrodžių teorija; priskyrimas Euklidui yra ginčytinas, nes jo autoriumi gali būti Theonas iš Aleksandrijos). Dar Euklidui priskiriame ir dingę veikalai: „Kūgiai“, „Porizmai“ (apie kūgių pjūvius), „Pseudarija“ (apie samprotavimo klaidas), „Paviršiai“ ir keli kiti, kurie minimi arabų šaltiniuose.

„Pradmenyse“ geometrinių kūnų bei sveikųjų skaičių savybės išvedamos iš keleto aksiomų – taip pradėdamas pagrindą šiuolaikinės matematikos aksiomatizacijai. Dar nagrinėjo vizualinę perspektyvą, kūgio pjūvius, sferinę geometriją ir, turbūt, keturkampe plokštuma.

„Pradmenis“ sudaro 13 knygų: trikampiai, stačiakampiai, apskritimai, daugiakampiai, proporcija, panašumas, skaičiai, kieto kūno geometrija, piramidės, Platono kietieji kūnai. Pirma ir kai kurios kitos knygos pradedamos apibrėžimais. Pirmoje knygoje taip pat išdėstomi postulatai ir aksiomos. Postulatai dažniausiai apibūdina pagrindinius santykius (pvz., „per du taškus galima nubrėžti tiesę“), o aksiomos – operavimo su dydžiais taisykles (pvz., „jei du dydžiai lygūs trečiajam, tai jiedu lygūs tarpusavyje“). Pirmoji knyga skirta trikampių ir lygiagretainių klausimams ir yra užbaigiama garsiąja Pitagoro teorema.

2 knyga, kurios ištakos pitagoriečiai, skirta „geometrinei algebrai“. 3-4 knygose dėstoma apskritimų, o taip pat įbrėžtų ir apibrėžtų daugiakampių geometrija – čia Euklidas galėjo pasinaudori Hipokrato iš Chijo darbais. 5 knygoje pateikiama bendroji proporcijų teorija, sukurta Eudokso iš Knido, o 6-oje knygoje ji pritaikoma panašių figūrų teorijai. 7-9 knygos skirtos skaičių teorijai (ištakos – pitagoriečiai), 8 knygos autoriumi matyt buvo Architas iš Tarento. Tose knygose nagrinėjamos proporcijų ir geometrinių progresijų teoremos, įvedamas bendro didžiausio daliklio suradimo būdas (Euklido algoritmas), sudarinėjami lyginiai tobulieji skaičiai, įrodoma begalinis pirminių skaičių kiekis. 10 knygoje kuriama iracionalumų sistema (matyt, jos autoriumi yra Tejetetas iš Atėnų). 11 knygoje pristatomi stereometrijos pagrindai. 12 knygoje įrodomos skritulių plotų, o taip pat piramidžių ir kūgių tūrio santykių teoremos (jos autoriumi laikomas Eudoksas iš Knido). 13 knyga skirta penkių taisyklingų daugiabriaunių sudarymui (laikoma, kad jos dalį parengė Tejetetas iš Atėnų).

Prie šių 13-os knygų pridedamos dar dvi: 14-a, kuri priklauso Hipsiklui iš Aleksandrijos (apie 200 m. pr.m.e.), o 15-a sukurta Izidoriaus iš Mileto laikais (6 a.).

„Elementai“ prasideda 23 apibrėžimais, 5 aksiomomis (Euklido postulatais) ir 5 “sveiko proto” sąvokomis, iXš kurių išvedami įrodymai. Penki Euklido postulatai:
1. Iš vieno taško į kitą galima nubrėžti tiesę liniją.
2. Iš tiesės įmanoma gauti atkarpą.
3. Turint centrą ir spindulį įmanoma nubrėžti apskritimą.
5. Jei tiesė kertanti dvi tieses, sudaro toje pačioje pusėje vidinius kampus mažesnius nei du statūs kampai, tiesės (pratęsus jas iki begalybės) susikirs toje pusėje, kurioje kampai mažesni nei du statūs kampai.

Paskutinysis postulatas žinomas kaip tiesių lygiagretumo aksioma. Po daugiau nei dviejų tūkstantmečių teįrodyta, kad jis neišvedamas iš likusių kitų. Tai buvo pagrindas neeuklidinėms geometrijoms sukurti. Gaila, kad Euklido postulatų sistema nėra pilna. Hilbertas, kurdamas savo logiškai išbaigtą geometriją, naudojo 20 aksiomų.

„Pradmenys“ tapo pagrindu vėlesniems Archimedo, Apolonijaus ir kt. Antikos autorių veikalams. Komentarus jiems rašė Heronas, Porfirijus, Proklas, Papas, Simplicijus^**) ir kt. Naujaisiais laikas „Pradmenys“ laikyti matematinio traktato pavyzdžiu, griežtai ir sistemingai dėstančio nagrinėjamus klausimus.

Euklido „Pradmenys” buvo sunkiai įkandami jo mokiniams. Apie juos buvo kalbama: pirmosios dvi – teoremos, o trečioji – „elefuga“ („mokinių bėgimas“). Pasakojama, kad vienas Euklido mokinys visiškai prarado viltį įveikti jo „Pradmenis“ ir net pradėjo inkšti: O ką gausiu už tai, kad taip vargstu, kalu šitai?“. Euklidas liepė savo vergui: „Duok jam tris monetas – jis to nusipelnė mokydamasis ‚Pradmenis‘“. Sakoma, kad tai buvusi pirmoji stipendija.

Sunkus uždavinys išreikšti pojūčius ar jausmus žodžiais, pasakytais ar parašytais, nes tam, kuris klausysis ar skaitys, žodžiai vėl turės virsti pojūčiais ir jausmais, Dž. Londonas

Dar pitagoriečių ir Platono laikais aritmetika, muzika, geometrija ir astronomija (vad. „matematiniai“ mokslai) buvo laikomi sistemingo mąstymo pavyzdžiais ir paruošiamuoju etapu filosofijai. Ne veltui atsirado istorija, kad, atseit, virš įėjimo į Platono Akademiją puikavosi užrašas „Teneįeina čia nemokantis geometrijos“.

Geometriniai brėžiniai, kuriuose, nubrėžus papildomas pagalbines linijas, neaiški tiesa tapdavo akivaizdžia, yra iliustracija apie priminimo mokymą, išvystytą Platono „Menone“ bei kituose dialoguose. Geometrijos teiginiai todėl ir vadinami teoremomis, kad jų supratimui reikia brėžinį suvokti ne paprasta jusline rega, o „proto akimis“. Kiekvienas brėžinys teoremoje perteikia idėją: matome tą figūrą, o samprotaujame ir darome išvadas apie visas to paties pavidalo figūras.

Tam tikras Euklido „platonizmas“ susijęs ir su tuo, kad Platonas „Timėjuje“ nagrinėja mokymą apie 4 elementus, kuriems atitinka 4 taisyklingi daugiabriauniai (tetraedras – ugnį, oktaedras – orą, ikosaedras – vandenį, kubas – žemę), o penktasis daugiabriaunis (dodekaedras) „atiteko Visatos figūrai“. Taigi „Pradmenis“ galima laikyti išplėtotu ir išbaigtu įrodymu, kad nėra daugiau taisyklingų briaunainių be tų 5-ių “platoniškųjų“.

„Pradmenys“ svarbūs ir Aristotelio mokymui apie įrodymą („Antroji analitika“). Anot Aristotelio, būtini pradiniai teiginiai, priimti be įrodymų, kad įrodymų grandinėlė nebūtų begalinė.

^*) Jonas Stobėjus (5 a.) – Bizantijos kompiliatorius, kilęs iš Makedonijos. Sudarė 4 tomus iš graikų autorių kūrinių, skirtą sūnaus lavinimui, - „Antologiją“ arba „Eklogus“. Vertybė ta, kad kai kurie tekstai išliko tik čia.

^**) Simplicijus iš Kilikijos (apie 490-560) – neoplatonikas. Pradžioje mokėsi Aleksandrijoje pas Amonijų Hermį, o vėliau persikėlė į Atėnus. Iki 529 m. mokė Platono Akademijoje (iki jos uždarymo Justiniano potvarkiu), o tada su 6 kitais akademikais persikėlė į Persiją, net netrukus, pagal Persijos sutartį su Bizantija, grįžo ir gyveno Charane. „Tremtyje“ parašė visus komentarus: Aristotelio „Fizikai“, „Kategorijoms“, „Apie dangų“, „Apie sielą“, Epikteto „Vadovui“, Hermogeno „Menui“, Jamblicho „Apie pitagoriečių mokyklą“. Jo komentarai Euklido „Elementams“ neišliko, bet nemažai citatų išsaugojo 10 a. matematikas an-Nairizi. Atrodo, kad Simplicijus bandė įrodyti Euklido postulatą apie lygiagrečias tieses.

Ypač įdomus Simpliciaus mokymas apie erdvė ir laiką, bei diskusijos apie substancijos, formos, bendro ir atskiro sąvokas bei žmogaus pažinimo pobūdį.