Pirminiai dvyniai

Pirminiai dvyniai - pirminiai skaičiai, kurių skirtumas yra 2. Tai poros (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), ... Mažesnis iš dvynių vadinamas Čeno pirminiu skaičiumi.

Manoma, kad pirminių dvynių yra begalinis skaičius, tačiau tai nėra įrodyta. 1849 m. šį pirminių dvynių teiginį apibendrino A. de Polignac‘as – kad yra be galo daug pirminių skaičių besiskiriančių bet kokiu lyginiu skaičiumi. O griežtesne forma - Hardy-John Littlewood teiginys teigia apie pirminių dvynių pasiskirstymą.

1915 m. Viggo Brun‘as įrodė, kad atvirkštinių pirminių dvynių eilutė konverguoja (Bruno teorema):

Tai reiškia, jei pirminių dvynių ir begalinis skaičius, tai jie išsidėstę gana retai. B₂ = 1,90216058... vadinama Bruno pirminių dvynių konstanta. Bruno teorema paskatino šiuolaikinės sieto teorijos išvystymą. Šiuolaikinę teoremos įrodymo versiją galima panaudoti parodant, kad už N mažesnių pirminių dvynių skaičius neviršija CN/log2N, kur C>0 yra tam tikra absoliutaus dydžio konstanta.

1940 m. Paul Erdos‘as įrodė, kad yra konctanta c < 1 ir be galo daug pirminių skaičių p. tokių, kad (p‘-p)<c ln p, kur p‘ reiškia kitą po p einantį pirminį skaičių. 1986 m. Helmut Maier‘is parodė, kad galima naudoti konstantą c<0,25. 2004 m. D. Goldston‘as ir C. Yildirim‘as patikslino ją iki c=0.085786... 2005 m. D. Goldston, J. Pintz ir C. Yildirim nustatė, kad bet kokį laisvai pasirinkto mažumo c.

Faktiškai, laikant esant teisingu Elliot-Halberstam teiginį arba nežymiai susilpnintą jo versiją, jie galėjo įrodyti, kad yra be galo daug n tokių, kad bent du skaičiai iš n, n+2, n+6, n+8, n+12, n+18, n+20 yra pirminiai. Griežtesnė hipotezė teigia, kad du pirminiai skaičiai yra tarp n, n+2, n=4, n+6, n+8.

Bet kurių pirminių dvynių forma yra (6n-1, 6n+1), kur n - tam tikras natūrinis skaičius. Išimtis tėra pora (3, 5). Be to, išskyrus n=1, n paskutinis skaitmuo yra kuris nors iš šių: 0, 2, 3, 5, 7, 8. Visų pirminių dvynių poros moduliu 30 yra lygios (11, 13), (17, 19) arba (29, 31). Taip pat įrodyta, kad (m, m+2) yra pirminiai dvyniai tada ir tik tada, kai
4((m-1)!+1) º -m (mod m(m+2))

Empirinė žinomų pirminių dvynių iki 4,35 * 10¹⁵ analizė rodo, kad jei tokių porų, mažesnių x, skaičius yra f(x) * x / (log x)², tada f(x) yra apie 1,7 mažiems x ir nukrenta link 1,3, kai x artėja link begalybės. Teigiama, kad

kas patvirtintų pirminių dvynių teiginį, tačiau lieka neįrodyta. Pirminių dvynių teiginys duotų geresnę aproksimaciją su pirminių skaičių paskaičiavimo funkcija

Polignac‘o teiginys

Kiekvienam natūriniam lyginiam yra be galo daug pirminių skaičių porų (p, p‘), tokių, kad p-p‘=k .Atveju k=2 turime pirminių dvynių teiginį. Atveju k=4 turime pirminius pusbrolius, o k=6 – seksualiuosius pirminius skaičius.

Teiginį 1849 m. suformulavo Alphonse de Polignac. Jis dar neįrodytas jokiam k.
Tačiau 2013 m. balandį iki tol nežinomas kinų kilmės matematikas Y. Zhang‘as pastelbė įrodymą, kad yra bent vienas lyginis skaičius k, mažesnis už 70 mln., toks, kuriam teisinga, kad yra begalinis pirminių skaičių, besiskiriančių k, porų kiekis. Iš esmės, tai silpnesnė Polignac’o teiginio (teigiančio tai teisinga visiems lyginiams skaičiams) versija. Daugiau apie tai žr. >>>>>

Netrukus buvo „Polymath” projekto rėmuose Zhango apribojimas jau po metų buvo sumažintas iki 246, o vėliau, pritaikius Elliott–Halberstam teiginį, atitinkamai iki 12 ir 6. Tai atlikta naudojant jau paprastesnius ir kitokius, nei Zhango metodus.

Polignac‘o teiginio apibendrinimai:

• Dickson’o teiginys yra apibendrinimas visiems pirminių skaičių spiečiams;
• Bateman-Horn teiginys apibūdina asimptotinius tankius.

Iš nežinios – į šlovę

Netikėtą atradimą padarė visai matematikos srityje iki tol nežinotas vyriškis. Kadaise kinų kilmės Yitang Zhangas (g. 1955) neturėjo darbo ir dirbo amerikiečių sumuštinių „Subway“ užkandinėje. Net ir kai 1991 m. Purdue un-te apgynė daktaro laipsnį, - ir toliau ilgokai dirbo „Subway“ tinkle apskaitininku.

O viskas nutiko taip – jis nagrinėjo matematikų laikyta neišsprendžiama pirminių dvynių begalinio kiekio problemą. Sprendimą 2013 m. balandžio 17 d. pasiuntė „Annals of Mathematics“ redakcijai. Ten iškart suprato, kad gavo genialų darbą, „įrodantį pirminių skaičių pasiskirstymo teoremą“. „Simons Foundation“ atstovų nuomone, Zhango sprentimas „skaidrus kaip krištolas“.

Gimęs 1955 m. Šanchajuje, Yitang Zhangas Pekino un-te 198ė m. gavo magistro laipsnį matematikos srityje. Su rekomendacijomis gavo stipendiją Purdue un-te (JAV), kur po 7 m. 1911 m. gruodį apsigynė daktaro disertaciją. Tačiau jam nesisekė rasti akademinio darbo. Tik 1999 m. Naujojo Hampšyro un-te gavo dėstytojo darbą (2014 m. skirtas profesoriumi). Tik po savo straipsnio paskelbimo buvo apdovanotas daugeliu matematinių premijų: 2013 m. - Morningside ypatingų pasiekimų premija ir Ostrowski‘o premija; 2014 m. Frank Nelson Cole premija skaičių teorijos srityje, Rolf Schock‘o premija ir MacArthur‘o premija. 2014 m. išrinktas ir Taivanio „Academia Sinica“ nariu.

Jis pateikė įrodymą, kad yra be galo daug pirminių skaičių porų, besiskiriančių 70 mln. ar mažesniu (lyginio skaičiaus) skirtumu. Griežtesnis (Polignac‘o) teiginys skelbia, kad tai teisinga kiekvienam lyginiam skaičiui (taigi ir 2).

Įrodymas:

• Y. Zhang. Bounded gaps between primes// Annals of Mathematic 2014, v. 179, p. 1121–1174

Pirmasis Hardy-Littlewood teiginys

Jis yra pirminių dvynių teiginio apibendrinimas, susijęs su pirminių skaičių spiečių (įskaitant pirminiius dvynius) pasiskirstymu, panašus į pirminių skaičių pasiskirstymo teoremą.

Tegu p₂ žymi kiekį pirminių skaičių p <= x, tokių, kuriems p+2 irgi pirminis skaičius. Apibrėžkime pirminių dvynių konstantą C₂ taip

Tai yra, ~ reiškia, kad abiejų išraiškų dalmuo artėja prie 1, kai n artėja į begalybę. Tada

Šį teiginį galima patikrinti (tačiau neįrodyti) laikant, kad 1/ln t apibrėžia pirminių skaičių pasiskirstymo funkciją – šios prielaidos laikosi pirminių skaičių pasiskirstymo teorema.

Teiginys yra apibendrintas bet kokiam skirtumui tarp pirminių skaičių.

Trejetai ir ketvertai

Jei m-4 arba m+6 taip pat yra pirminis skaičius, tada turime pirminį trejetą. Pirmieji pirminiai trejetai: (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), ...

Kadangi kas trečias nelyginis skaičius yra dalus iš 3, trys iš eilės einantys nelyginiai skaičiai negali būti pirminiais, išskyrus (3, 5, 7).

Šiuo metu didžiausias žinomas tripletas (p, p+2, p+6) prasideda skaičiumi 2072644824759 × 233333 – 1, iš 10047 skaitmenų (2008 m. lapkritis, Norman Luhn, Fran?ois Morain, FastECPP).

Pirminių skaičių ketvertai, turintys pavidalą (p, p+2, p+6, p+8), vadinami dvigubais dvyniais arba pirminiais ketvertais. Pirmieji jų: (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199),...

Visi pirminiai ketvertai, išskyrus pirmąjį, moduliu 30, lygūs (11, 13, 17, 19). O moduliu 210, jų pavidalas yra vienas iš (11, 13, 17, 19); (101, 103, 107, 109); (191, 193, 197, 199).

Didžiausi žinomi pirminiai dvyniai

• 65516468355 * 2³³³³³³+-1 (100355 skaitmenys), 2009 m. rugpjūčio 6 d. PrimeGrid ir Twin Prime Search;
• 2003663613* 2¹⁹⁵⁰⁰⁰+-1 (58711 skaitmuo), 2007 m. sausio 15 d. PrimeGrid ir Twin Prime Search; Eric Vautier (Prancūzija)
• 194772106074315* 2¹⁷¹⁹⁶⁰+-1 (51780 skaitmenų);

Čen pirminiai skaičiai

Pirminis skaičius p vadinamas Čen pirminiu skaičiumi, jei p+2 yra arba pirminis arba dviejų pirminių skaičių sandauga. Tada lyginiai skaičiai 2p+2 tenkina Čeno teoremą.

Šie skaičiai pavadinti Čen Džingruno, 1966 m. įrodžiusiam, kad tokių pirminių skaičių yra be galo daug, garbei. Tai sektų ir iš pirminių dvynių teiginio.

Pirmieji Čen pirminiai skaičiai yra: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101, ...

Rudolfas Ondreika sudėliojo tokį magišką 3x3 kvadratą iš Čen pirminių skaičių:

17	89	71
113	59	5
47	29	101

Čenas įrodė ir tokį apibendrinimą: kiekvienam lyginiams h egzistuoja be galo daug pirminių skaičių p, tokių, kad p+h yra arba pirminis, arba pusiau pirminis.

Pirminiai skaičiai
Beal'o hipotezė
Aritmetikos pagrindai
Didžioji Ferma teorema
Skaičiai – apžvalga/ pradmenys
Ar įrodytas abc teiginys?
Rymano hipotezės paaiškinimas
Proveržis skaičiuojant skaidinius
Pagrindinė aritmetikos teorema
Didžiausias bendras daliklis
Iniciatyva: Matematikos keliu
Fundamentaliosios matematikos teoremos
Littlewood teiginys apie aproksimaciją
Naujas pirminių skaičių dėsningumas
Omaras Chajamas: ne vien Rubijatai
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Kai kurios pirminių skaičių formos
Pagrindinės algebrinės struktūros
A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
Matematikai: Davidas Hilbertas
Graikų matematikai - filosofai
Skaičių simbolika Vedose
Euklidas iš Aleksandrijos
Santykis ir proporcija
Kokiu greičiu skriejame?
Pitagoro teorema
Algebros istorija
Dalyba iš nulio
Vartiklio naujienos