Moksleivis perkando I. Niutono uždavinį
Shourryya Ray, indų kilmės 16 m. amžiaus studentas iš Vokietijos 2012 m. išsprendė problemą, kuri daugiau nei 350 m. nepakluso matematikams. Jis paskelbtas genijumi, nes įveikė du svarbius dalelių dinamikos klausimus, kurie anksčiau tebuvo sprendžiami tik apytiksliai naudojant kompiuterius. Ray sprendimas leidžia tiksliai paskaičiuoti objekto trajektoriją veikiant gravitacijai bei oro pasipriešinimui. Antra, gali būti paskaičiuotas objekto kelias ir nuspėta, kaip jis atsitrenks ir atšoks nuo kliūčių. Abu tie klausimai buvo iškelti 17 ir 18 a.
Jaunuolis pirmąkart susidūrė su šiuo klausimu, kai, būdamas 11 m. amžiaus, su mokykla, kuri specializuojasi mokslo srityje, aplankė Drezdeno Technikos universitetą, kai studentams buvo pateikti duomenys, pagal kuriuos jie turėjo įvertinti sviesto rutulio trajektoriją. Ray ėmėsi tikslaus sprendimo paieškų iš smalsumo ir mokiniško naivumo, nenorėdamas patikėti, kad problema neišsprendžiama.
Sudėtingus uždavinius ėmėsi spręsti būdamas 6 m. amžiaus. Metams bėgant Ray pajuto matematikos vidinį grožį. Jis iš Kalkutos Indijoje persikėlė į Drezdeną prieš 4 m., kai jo tėvas gavo darbą koledže. Tada jis visiškai nemokėjo vokiečių kalbos, o dabar ja kalba laisvai. Jis laimėjo jaunųjų mokslininkų konkursą Saksonijoje ir laimėjo 2 vietą matematikos ir IT sekcijoje konkurso finale. Jis rengiasi laikyti vidurinės mokyklos baigiamuosius egzaminus. Jis renkasi, ką studijuoti koledže matematiką ar fiziką.
Atsiverskite: Ar nepabandysite išpręsti uždavinį?
Greitesnės nei greitos Furjė transformacijos
Furjė transformacijos yra viena svarbiausių koncepcijų informaciniuose moksluose. Tai nereguliarių signalų pateikimo būdas tokių kaip įtampos svyravimų laide, jungiančiame MP3 grotuvą su garsiakalbiu kaip grynų dažnių kombinaciją. Jos visuotinai naudojamos apdorojant signalus, tačiau taip pat gali būti panaudotos suspaudžiant vaizdus ir audio duomenis, sprendžiant diferencialines lygtis, tiriant akcijų rinką ir kt.
Dėl to, kad Furjė transformacijos taip paplitusios, kaltas algoritmas, kuris vadinamas greitosiomis Furjė transformacijomis (FFT), sukurtas 20 a. 7-ojo dešimtm., leidęs jas paskaičiuoti akimirksniu. Tačiau buvo žmonių, vis dar bandžiusių surasti dar greitesnius algoritmus.
SODA, grupė MIT tyrinėtojų, pasiūlė naują algoritmą, kuris daugeliu praktiškai svarbių atvejų aplenkia FFT. Kai kuriais atvejais tas pagerėjimas tiesiog dramatiškas iki dešimties kartų. Jis gali būti ypač naudingas spaudžiant vaizdus.
Kaip ir FFT, naujas algoritmas dirba su skaitmeniniais signalais. Skaitmeninis signalas yra tiesiog skaičių sekos diskretūs analoginio signalo rinkiniai. FFT ima skaitmeninį signalą ir jį išreiškia kaip svertinę dažnių sumą.
Svertinė reiškia, kad kai kurie dažniai (sumuojant) yra svarbesni nei kiti. Kai kurių jų svoriai tokie mažiai, kad juos galima paprasčiausiai atmesti. Štai kodėl Furjė transformacijos taip tinka duomenų kompresijai. 8x8 taškų bloką galime laikyti kaip 64 skaičių ilgio skaitmeninį signalą, taigi, kaip 64 skirtingų dažnių sumą. Tačiau tyrinėtojai nurodo, kad vidutiniškai 57-is iš šių dažnių galima atmesti tik minimaliai paveikiant vaizdo kokybę.
Signalai, kuriems Furjė transformacijos įtraukia santykinai mažą didelį svorį turinčių dažnių kiekį, vadinama išsklaidytais (sparse). Naujasis algoritmas paskaičiuoja signalo didžiausių svorių dažnius; kuo labiau išsklaidytas signalas, tuo greičiau veikia algoritmas. Ir jei signalas yra išsklaidytas pakankamai, algoritmas duomenis gali skaidyti atsitiktinėmis porcijomis, o ne visą signalą.
Gamtoje dauguma signalų yra išsklaidyti. Imkim, tarkim, kamerinės muzikos kūrinį. Bendrą signalą sudaro vos keli instrumentai, kurių kiekvienas vienu metu groja tik vieną natą. Iš kitos pusės, visų įmanomų instrumentų, kurių kiekvienas groja visas įmanomas natas vienu metu, įrašas negali būti išsklaidytas tačiau toks įrašas nieko nedomina.
Naujas algoritmas, kurį sukūrė prof. Adjunktas Dina Katabi ir prof. Piotras Indykas iš MIT CSAIL laboratorijos, kartu su studentais E. Price ir H. Hassanieh, remiasi dviem pagrindinėmis idėjomis. Pirmoji, tai signalo supjaustymas į siaurus griežinėlius taip, kad kiekviename tebūtų tik vienas didelio svorio dažnis. Signalų apdorojime pagrintinė priemonė dažnių atskyrimui yra filtras, atsijojantis vienus dažnius ir praleidžiantis kitus. Jei taip nutinka, kad vienas dažnis su aukštu svoriu atsiduria filtro pakraštyje, tada jsi gali būti nepastebėtas. Tad pirmas uždavinys yra rasti efektyvų būdą taip suderinti filtrus, kad jie galėtų persidengti, ir neliktų praleistų dažnių, tačiau ir griežinėlių traštai būt pakankamai aštrūs.
Kai tik izoliuojamas spektro griežinėlis, vis dar reikia nustatyti didžiausio svorio dažnį jame. SODA straipsnyje tai daroma pakartotinai pjaustant griežinėlį į mažesnes riekeles ir paliekamos tik tos, kuriose sukoncentruota didžioji signalo dalis. Tačiau aprašomas ir efektyvesnis metodas, pasiskolinantis signalų apdorojimo techniką iš 4G ryšio tinklų. Dažniai paprastai pateikiami kaip aukštyn-žemyn vingiai, tačiau juos taip pat galima laikyti ir osciliacijomis ir nustatyti kur jose yra dominuojantis dažnis.
Du Mičigano tyrinėtojai matematikos prof. Anna Gilbert ir matematikos prof.adjunktas Martin Strausss jau buvo patobulinę FFT labai išsklaidytiems signalams kai pasiskirstymas k (didelio svorio dažnių) yra žymiai mažesnis bei įėjimo apimtis n. Tačiau MIT algoritmas gerokai išplečia aplinkybes, prie kurių jis gerokai aplenkia FFT.
Griebtasi didžiųjų neišspręstų uždavinių
Žinoma, kad moksliniai tyrinėjimai vyksta lėtai, tačiau tai niekai, palyginus su metais, sugaištamais sprendžiant didžiąsias neišspręstas matematikos problemas.
Vienos tokios problemos ėmėsi Marsdeno fondo (N. Zelandijos) remiamas projektas, kurio pagrindinis tyrinėtojas Dillon Mayhew su 5 bendradarbių komanda iš Viktorijos jau 12 metų praleido bandydami įrodyti Rota teiginį matroidų geometrijos srities (suformuluotą italų matematiko Gian-Carlo Rota 8-ojo dešimtm. pradžioje). Manoma, kad tai gali nepavykti (jei išvis pavyks) padaryti iki 2020-ųjų.
D. Mayhew tyrinėja matroidų geometriją, kuri yra labiau šiuolaikinė geometrijos forma nei euklidinė geometrija, kurią moko mokykloje. Ne tiek dėmesį kreipdama kampams ir atstumams, matroidų teorija nagrinėja baigtinį taškų skaičių, kurie nesikeičia atliekant projekciją pvz., trys taškai visada lieka tiesėje, kad ir kokią tiesės projekciją paimtume. Matroidus dengia tonos įvairių matematinių objektų, tačiau jie dažnai susiejami tarpusavyje matrica ar skaičių seka. Tačiau tos matricos yra iš gerokai mažiau žinomų sistemų, tokių, kaip Galua laukai arba baigtiniai laukai, turintys baigtinį elementų skaičių, kartais vos 2. Kiekvienai skaičių sistemai gaunama skirtinga matroidų šeima. Matematikai dešimtmečiais bando suklasifikuoti matroidų šeimas kiekvienai skaičių sistemai.
Uždavinį palengvino tai, kad yra apribojimų, kadangi kai kurie matroidai niekada nesusidaro tam tikrose skaičių sistemose. 1958 m. įrodyta, kad 2-ių skaičių sistema turi vieną draudžiamą matroidą, o po 21-erių metų įrodyta, kad 3-ių skaičių sistema turi 4-is draudžiamus matroidus. Pagaliau, 2000-aisiais įrodyta, kad 4- ių skaičių sistema turi 7 draudžiamus matroidus. Ir iš čia kilo Rota teiginys, teigiantis, kad kiekvienai baigtinio skaičiaus sistemai yra baigtinis draudžiamų matroidų skaičius.
Skaičiuojantys gyvūnai
Galimybė skaičiuoti gali būti įgimta daugeliui rūšių.
Cirke ne vienam teko stebėti skaičiuoti mokančius gyvūnus. Tačiau tai tik cirko triukas gyvūnai reaguoja į dresuotojo signalus. O išsiaiškinti, ar jei tikrai turi matematinių sugebėjimų, gerokai sunkiau. Tačiau, pvz., daugelis patyrusių medžiotojų teigė, kad gulbės skiria lyginius ir nelyginius skaičius. Tarkim, į upę paleidžiam kelias prijaukintas gulbes. Laukinės prie jų nutūps tik tuo atveju, jei upėje plaukioja nelyginis gulbių skaičius.
Vis tik nuo Protingojo Hanso laikų mokslininkai skeptiškai žiūrėjo į gyvūnų mokėjimą skaičiuoti. Arklys, plačiai auditorijai demonstravęs aritmetikos ir kitus sugebėjimus, iš tikro vykdė savo trenerio komandas. Šiuolaikiniai egzemplioriai, tokie kaip Afrikos pilkoji papūga Aleksis, mokanti skaičiuoti iki šešių ir žinanti sudėties bei atimties veiksmus, laikomi išskirtiniais atvejais arba aplinkos sąlygų produktais.
Ypač kai kartais gyvūnų pasiekimai matematikoje iš esmės neturėjo jokio ryšio su jų matematiniais sugebėjimais. Štai toks pavyzdys. Kartą I. pavlovo laboratorijoje šuo įgijo sąlyginį refleksą: gaudavo maistą išgirdęs metronomą, darantį šimtą dūžių per minutę. Taip metronomas veikdavo 30 sek., o tada šuniui duodavo mėsos. Ilgainiui, išgirdus tokį metronomą, šuniui imdavo bėgti seilės. Tada patikrinta, kaip šuo reaguos į 50 dūžių per minutę. Pirmąkart šuo suklydo - jam išsiskyrė seilės, tačiau mėsos jis negavo. Ir šuo greitai suvokė, koks čia reikalas ir ėmė skirti 50 ir 100 dūžių dažnius. Vėliau jį išmokė skirti 60, 70, 80 ir 95 dažnius. Vėliau mokslai ėjo sunkiau, tačiau jis sugebėjo pasiekti, kad imtų skirti ir 98 dūžius nuo 100! O juk metronomas skamb4jo tik O juk metronomas skambėjo tik 30 sek. tad per tą laiką jis turėjo atskirti 49 dūžius nuo 50. Kai 5sijungdavo 100 dūžių darantis metronomas, šuo 5-10 sek. atidžiai klausydavo, o tada jam išsiskirdavo seilės. Taigi, jis neskaičiavo dūžių, o tik pajusdavo reikiamus dažnius. O ju tokio skirtumo nepajaučia net subtilią klausą turintis muzikantas!
O Informacijos perdavimo institutas 8-e dešimtm. atliko tokį bandymą. Buvo išmokyta bites imti iš korių, kuriuos padėdavo ant lentelės su nupieštais dviem skrituliukais. Ant kitų dviejų lentelių dėdavo korius su vandeniu. Ant jų buvo nupieštas vienas ir trys skrituliukai. Gerokai patreniruotos bitės išmoko susirasti reikiamą korį. Nors keisdavo skritulių išdėstymą, jų spalvą ir dydį bitės nesuklysdavo. Tada tas išmaniąsias darbštuoles išmokė skirti skirti lentelė su trim skrituliais nuo lentelių su dviem ir keturiais skrituliais. Taigi, tarsi bitės sugeba skaičiuoti iki 4.
Iš paukščių gabiausi ne tik kalboms, bet ir matematikai yra varnėnai, kuosos, varnos ir papūgos. Kiekviena paukščių rūšis į lizdą deda tą patį kiausinių skaičių. Jei palauksime, kol patelė padės paskutinį kiaušinį, tada jį išimsime, tai patelė iškart pastebės trūkumą ir padės naują kiaušinį. Tip kartosis daug kartų, kol išiminėsime kiaušinius. Dėl to mokslininkai netgi buvo susiginčiję. Kai kurie teigė, kad paukščiai neskaičiuoja, o kiaušinio pasigenda todėl, kad pamato atsiradusią tuštumą. Tačiau atlikus daugelį bandymų, buvo nuspręsta, kad vis tik paukščiai moka skaičiuoti.
O labai išgarsėjo varnas Jakobas. Prieš jį pastatydavo keletą dėžučių su maistu. Tų dėžučių viršeliuose būdavo nupieštas nevienodas rutuliukų skaičius. Jakobui parodydavo paveikslėlį su tam tikru rutuliukų skaičiumi paukštis turėjo surasti dėžutę su tokiu pat rutuliukų skaičiumi. Tik iš jos Jakobui buvo leidžiama lesti.
O sugebėjimais stebina papūgos, kurias pavyko išmokyti suskaičiuoti sulesamų grūdų kiekį. Paukščiui paberdavo saujelę grūdų ir mokydavo ją imti tik 4, 5 ar 6 grūdelius. Po kelių dienų papūgos jau lengvai susidorodavo su užduotimi ir, norėdamos išvengti bausmės, stengėsi būti ypač atidžios.
O garsiausiu matematiku tarp paukščių buvo papūga Žako, kurią taip pat įpratino rasti mistą iš tam tikros dėžutės. Bet Žako pasiekė ir daugiau: išmoko suskaičiuoti, kiek lempučių dega tam tikrame prietaise ir iš dėžutės pasiimdavo tiek grūdų. Kartą vietoje lempučių buvo papūsta dūdelė. Žako be atskiro pamokymo susivokė suskaičiavo, kiek kartų padūduota, ir pasiėmė reikiamą kiekį grūdų. Tai nemažas pasiekimas, nes visos lemputės degdavo vienu metu ir gana ilgai, o čia reikėjo atskirti vienas po kitą inamus garsus. Nuolat treniruojama Žako išmoko skaičiuoti iki 8 (o štai šuo sugeba skaičiuoti net iki 10 - skaitykite Protingi šunys).
Aišku, neužmirštos ir beždžionės. Jas tyrė ir amerikietis H. Festeris, kurio laboratorijoje gyveno šimpanzės Denis, Elizabetė ir Mardži. Visos buvo trimetės. Gabesnėmis buvo Denis ir Mardži. Jas mokė suskaičiuoti rutuliukus, trikampius ar keturkampius ir užrašyti skaičiavimo rezultatus. Festeris nusprendė, kad dešimtainė sistema beždžionėms per sudėtinga, tad pabandyta naudoti dvejetainę sistemą. Šimpanzėms ji pasirodė neįkandama. Tada jos buvo išmokytos specialiame pulte uždeginėti lemputes. Deganti lemputė reiškė 1, o nedeganti 0.
Beždžiones mokė 5 m. Pirmais metais šimpanzės pratinosi pažinti skaičius ir išmokti jais naudotis. Kitais metais užduotys sudėtingėjo. Mokslai vyko sunkiai, tačiau beždžionės išmoko skaičiuoti iki 7.
Tačiau neseni tyrinėjimai atskleidė įvairių rūšių skaičiavimo sugebėjimus. Tam tikromis sąlygomis, beždžionės gali aplenkti netgi koledžų mokinius. 2008 m. vasarą K.C. Burns iš N. Zelandijos padarė skyles nukritusiuose medžiuose, į kurias, matant N. Zelandijos liepsnelei, įdėjo po skirtingą kiekį kirminų. Liepsnelė ne tik pirma skrisdavo prie skylės, kurioje daugiau kirminų, bet ir, kai K. Burns ją apgaudavo, pašalindamas keletą kirminų jai nematant, praleisdavo dvigubai daugiau laiko ieškodama dingusių kirminų.
2009 m. balandžio mėn. Rosa Rugani iš Italijos paskelbė apie bandymus su ką tik išsiritusias viščiukais. Jie mama laikė didesnį objektų skaičių. O Jessica Cantlon kelis metus atlikinėji bandymus su beždžionėmis ir nustatė, kad jos gali rinktis mažesnę objektų aibę nepriklausomai nuo objektų dydžio, formos ar spalvos. E. Brannon bandė išmokyti beždžiones garsų kiekį susieti su figūrų skaičiumi, o taip pat patikrino jų sugebėjimus atimti. Bandymai parodė, kad nors beždžionės ir nepajėgė perprasti nulio koncepcijos, jos suvokė, kad jis yra mažiau nei du ar vienas. Nors E. Brannon jaučia, kad gyvūnai neturi lingvistinio skaičių pojūčio savo galvose jie neskaičiuoja viens, du, trys,... jie gali grubiai sumuoti objektų aibes, ir tas sugebėjimas jiems įgimtas. Irene Pepperberg, išgarsėjusi 30-ies metų užsiėmimais su papūga Aleksiu, sako, kad net bitės gali skirti nedidelius kiekius.
Taigi, gyvūnai gali išmokti skaičiuoti, bet ar jie tais sugebėjimais pasinaudoja natūraliomis sąlygomis? Tarkim, Magicucada cikados naudojasi pirminiais skaičiais (apie tai žr. >>>>>), tačiau ar jos tai daro sąmoningai?
Ar delfinai moka matematiką?
Prof. Timothy G. Leightonas ir kt. neseniai (2012) paskelbė straipsnį Ar delfinai turi naudos iš
netiesinės matematikos...?. Ar tikrai delfinai naudojasi skaičiavimo metodus, kai ieško maisto? Bet jei taip, tai jie imtų rašyti straipsnius į matematinius žurnalus apie tai, kaip žmonės naudojasi matematika, kad prigaudytų žuvų (žr. >>>>> ). Tačiau jie turi protingą priemonę sonarinę echologiją. Skleidžia garso bangas. Pakeliui jos susiduria su kliūtimis, pvz., žuvų būriu, ir grįžta atgal. Tai delfinai panaudoja navigacijai bei maisto paieškai.
Ne viskas taip paprasta. Kai T. Leightonas per Discovery kanalą žiūrėjo Blue Planet laidas apie vandenynus, jis pastebėjo, kad delfinai ir kiti jūros žinduoliai, bandydami prisigaudyti žuvų, sukuria burbuliukų tinklus. Kai tai? Juk tie burbuliukai iškreipia žmonių sonarinių prietaisų duomenis, tačiau ir delfinų, taip pat, ar ne? Tai kaip tada delfinai sugauna žuvis? Tie burbuliukai leidžiami tyčia: jei klaidina plėšrūnus ir padeda delfinams.
Ir augalai moka skaičiuoti (2013 07 11)
Kad išbūtų be saulės, augalai naktį atlieka dalybos operacijas, kad įvertintų savo krakmolo atsargas iki saulės pasirodymo - nustatydama krakmolo kiekį ir jį padalindami iš iki aušros likusių valandų skaičiaus. Tai kritinis aspektas augalams; krakmolas pagaminamas iš anglies dioksido veikiant saulės spinduliams ir yra energijos šaltinis naktį. Pritrūkę jo, jie pradės badauti, nustos augti ir jiems prireiks kelių valandų, kad atsistatytų saulei patekėjus. Paskaičiavimai yra tiek tikslūs, kad leidžia efektyvų maisto panaudojimą, kad starch nebūtų naudojamas nei per sparčiai, nei per lėtai.
Norvičo John Innes centro tyrinėtojai, tirdami Arabidopsis, smulkų žydintį garstyčių šeimos augalą, nustatė, kad jie kasnakt sunaudoja 95% krakmolo. Jiems pakeitus tamsos pradžios laiką, augalai prisitaikydavo padidindami ar sulėtindami krakmolo naudojimo laipsnį. Taip vyko ir didinant ar trumpoinant apšvietimo trukmę (taigi, ir per tą laiką pagaminto krakmolo kiekį).
Mokslininkai spėjo, kad informaciją apie krakmolo kiekį bei likusį iki aušros laiką pateikia dviejų molekulių, kurias sąlyginai pavadino S ir T, lygiai. Kuo arčiau aušros tuo mažiau yra S ir T. Tad augalai skaičiuoja S/T reikšmę, reiškiančią krakmolo vartojimo spartą.
Panašios formulės gali išreikšti ir kitus reiškinius augalijos bei gyvūnijos pasaulyje, kai reikia ilgą laiką išbūti be maisto. Pvz., mažosios stintos atvyksta nerštui į Arktį nukeliaudamos apie 5000 km ir tiek išnaudojusios riebalų atsargas, kad jų pakanka išgyventi tik likusioms 14 val. Panašiai, per 4-s perėjimo mėnesius imperatoriškųjų pingvinų patinai būna pasiekę kritinį riebalų lygį (žr. apie tai >>>>> ).
Tyrinėtojas aiškina Aukso vidurio paslaptį
Laikoma, kad aukso viduriu (žymimu f) naudojosi senovės egiptiečiai statydami piramides, juo paremta senovės Atėnų architektūra. Jį įžvelgia dramblio straublio straublio ir kudu paukščio snapo išlinkimuose, griaunančiame Kotrina uragano žavesyje ir planetų, jų palydovų bei asteroidų pasiskirstyme žvaigždžių sistemose. O Da Vinčio kode išgalvotas simbologistas bando atskleisti jo paslaptis. Kaip jo pavyzdys, neretai pateikiama Monos Lizos paveikslas. Tai Aukso vidurys, geometrinė proporcija, kuri laikoma labiausiai estetiška akiai ir yra daugybės misterijų pagrindas. Dar vadinama dieviškąja proporcija, ji apibūdina stačiakampį, kurio viena kraštinė maždaug 1,5 karto ilgesnė už kitą. O dabar jį paaiškinti ėmėsi Duke universiteto inžinierius Adrianas Bajanas atseit, žmogaus akis vaizdą atpažįsta greičiausiai, kai jis yra tokių proporcijų stačiakampis.
Viziją ir atpažinimą sujungia srautų (oro ar skysčių) dinamikos teorija, pagal kurią srautas teka lengviausiu keliu. Bejanas 1996 m. sukūrė konstruktalinio dėsnio terminą, kuris 2009 m. pabaigoje pasirodė ir Intern. J. of Design & Nature and Ecodynamics. Bejanas tvirtina, kad tiek žmogui, žvelgiančiam į paveikslą, tiek stirnai lauke, pasaulis yra orientuotas horizontaliai. Stirnai didžiausias pavojus tyko iš šonų ir užnugario, tad jos rega vystėsi, kad žvalgytųsi į šonus. Anot Bejano, matymas ir atpažinimas vystėsi kartu ir yra vieno proceso dalys.
Daugelyje straipsnių ir knygų, parašytų per paskutinį dešimtmetį, A. Bajanas įrodineja, kad konstruktalinis dėsnis leidžia nuspėti daugelio srautų, sutinkamų gamtoje (nuo biologijos ir geofizikos iki socialinės dinamikos bei technologijos vystymosi), elgseną.
Juo susidomėje ir profesoriai J. Boeyans bei F. Trackeray, 2014 m. 2014 m. lapkričio 26 d. paskelbę straipsnį Skaičių teorija ir mokslo vientisumas. J. Boeyans domina f vieta chemijos, fizikos, reliatyvumo bei kvantinės mechanikos srityse, o F. Trackeray jį aptinka biologijoje, - tiriant ne tik dabartines, bet ir išnykusias rūšis.
Taip pat skaitykite susijusį Aukso gysla Ramanudžano lygtims
Protingi šunys
Meilės sinusoidė
Zenono paradoksai
Monte-Karlo metodas
Kur viešpatauja chaosas?
Kokiu greičiu skriejame?
Žmonės prieš kompiuterius
Rymano hipotezės paaiškinimas
Matematikos atgimimas Lietuvoje
Mokslininkui nereikia matematikos!
Kada statistika gali meluoti?
Tjorstono geometrizacijos teiginys
Žvaigždžių virš Babilono funkcija
Mirė matematinės fizikos pradininkas
Australijos aborigenų matematikos samprata
Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
Semantinės derybos: Dviprasmybių modeliavimas
Ar jau rūksta dūmai? Navier Stokes lygtys
Algoritmų pirmeivis gavo Kyoto premiją
Čarlzas Pirsas: jo atgimimas
Da Vinči matematinė klaidelė
Puankarė teiginio įrodymas
Paviliota senovinio žaidimo
Atsidaro matematikos muziejus
Tribologija ir tepimo sprendimai
Paslaptingi Markovo procesai
Scenoje - paprastos grupės
Matematika ir biologija
Santykis ir proporcija
Visata kaip kompiuteris
Harmoninės eilutės
Kraskalo algoritmas
Landau nuslopimas
Dalyba iš nulio
Matroidai