Topologija

Topologija (gr. topos - padėtis, vieta) – matematikos šaka, nagrinėjanti bendrąsias erdvių ir geometrinių figūrų tolydumo (topologines) savybes, kurios nesikeičia atliekant tolydžias transformacijas, pvz., jungtumą, orientaciją. Topologijoje labai svarbios homeomorfizmo (žr. >>>>>) ir homotopijos sąvokos, kurios, grubiai sakant, yra deformacijos, atliekamos maigant ir tampant, tačiau neplėšant ir neklijuojant. Pvz., y=x3 yra realių skaičių homeomorfizmas. Tarkim, topologijos požiūriu „baranka“ ir puodukas nesiskiria (žr. iliustracijas >>>> , o taip pat >>>> ).

Topologijos ištakos susiję su kai kurių geometrijos uždavinių sprendimu ir siekia 1736-uosius. Topologijos užuomazgų matematikos istorikai randa L. Oilerio, Džordano, Kantoro darbuose. Topologijai gimstant 19 a. pabaigoje, ji vadinta geometria situs (vietos geometrija) arba analysis situs (vietos analizė). Pagrindus jai padėjo F. Hausdorfas, A. Puankarė, P. Urysonas, P. Aleksandrovas, L. Brauwer’is. 1925-75 m. topologija buvo sparčiai besivystanti matematikos šaka.

L. Oilerio 1736 m. straipsnis „Apie septynis Kioningsbergo tiltus“ (dab. Kaliningradas) laikomas pirmąja publikacija iš topologijos srities. Jame Oileris įrodė, kad neįmanoma pereiti visų tiltų per kiekvieną einant tik vieną kartą (šis uždavinys sieja ir grafų teoriją). Patį terminą „topologija“ (Topologie) 1847 m. panaudojo J.B. Listingas (vokiečių kalba), o angliškai pirmąkart panaudotas 1883 m. „Nature“ žurnale nekrologe apie J.B. Listingą. O „topologas“, kaip topologijos specialistas, panaudotas 1905 m. „Spectator“ žurnale. Tačiau visi tie panaudojimai tiksliai neatitinka šiuolaikinės topologijos sampratos.

Šiuolaikinė topologija remiasi 19 a. antrojoje pusėje G. Kantoro išvystyta aibių teorija. Kantoras, naudojo Euklido erdvės taškų aibes, kaip Furjė eilučių tyrinėjimo dalį.

1895-ais A. Puankarė paskelbė „Analysis Situs“, kuriame įtraukė homotopijos ir homologijos sąvokas, dabar laikomas algebrinės topologijos dalimi.

Maurice Frechet, apibendrindamas Kantoro, Volterra, Arzela, Hadamardo, Ascoli ir kitų darbus apie funkcijų erdves, 1906 m. įvedė metrinę erdvę. Ji dabar laikoma atskiru bendrosios topologijos erdvės atskiru atveju. 1914 m. Feliksas Hausdorfas įvedė terminą “topologinė erdvė” ir davė apibrėžimą (dabar) vadinamajai Hausdorfo erdvei. Dabar topologinė erdvė yra nežymus Hausdorfo erdvių apibendrinimas, kurį 1922 m. įvedė K. Kuratovskis.

Trumpas paaiškinamasis įvadas

Topologija formaliai apibrėžiama kaip tam tikrų objektų (topologinių erdvių) kokybinių savybių, nesikeičiančių atliekant tam tikro tipo transformacijas, tyrimas. Taip pat topologija vadinama aibėje X esanti struktūra, kuri „apibūdina“ X kaip topologinę erdvę pagal tokias jos savybes kaip konvergencija, jungtumas ir tolydumas, išliekančias atliekant transformacijas. Kadangi topologinės erdvės natūraliai pasireiškia beveik visose matematikos srityse, todėl topologija tapo viena iš vienijančių matematines idėjas. Kartais ji parodo netikėtus sąryšius su kitomis matematikos šakomis, pvz., Furstenbergo įrodymas, kad pirminių skaičių kiekis yra begalinis.

Topologijos vystymąsi skatina ir kai kurie geometrijos uždaviniai, kuriuose nėra svarbi tiksli objektų forma, o būdas, kaip jie jungiami tarpusavyje. Pavyzdžiui, apskritimas ir kvadratas turi nemažai bendrumų: abi šios figūros yra erdvinės (topologijos požiūriu) ir abi plokštumą padalija į dvi dalis – kurių viena yra išorėje, o kita viduje.

Pavyzdžiui, algebrinės topologijos „plaukuoto rutulio teorema“ teigia, kad negalima sušukuoti plaukuoto kamuolio taip, kad nebūtų verpeto. Šis teiginys nepriklauso nuo tikslios rutulio formos ar jo dydžio. Iš jo iškyla homeomorfizmo sąvoka – teiginys yra teisingas bet kuriai erdvei, homeomorfiškai sferai. Supaprastintai aiškinant, dvi erdvės yra homeomorfiškos, jei vieną jų galima deformuoti į kitą nekarpant ir nelipdant. Kita svarbi topologijos sąvoka yra homotopija. Ją sunkiau paprastai paaiškinti, tačiau, iš esmės, du objektai homotopiniai, jei abu juos galima gauti „suspaudžiant“ kokį nors didesnį objektą. Pvz., topologiškai skirstant (didžiąsias) abėcėlės raides, O ir P homeomorfiškai gali būti laikomos skirtingomis (viena priklauso grupei „su viena skyle“, o kita „su viena skyle ir viena uodegyte“ grupėms), tačiau jos yra vienodos homotopiškai (P uodegytė gali būti suspausta į tašką – ir todėl abi raidės priklauso grupei „su viena skyle“) [formalus homotopijos aprašymas >>>>>].

Pavyzdys „žaliems“

Visai nesunku topologijos principus pademonstruoti naudojantis kompiuteriu. Į tekstą įdėkime auksinės žuvelės piešinį:

Tada galime piešinuką ištempti (kartu pakeičiant ir dydį)

arba suspausti.

Aišku, visi tie piešinukai skiriasi daugybe charakteristikų, tačiau tai vis tiek išlieka auksine žuvele.

Formalus apibrėžimas ir pagr. sąvokos

Tegu X yra bet kokia aibė, o T - X poaibių sistema. T vadinama topologija X aibėje, jei:

1. T elementais yra ir tuščia aibė, ir pati X;
2. kiekviena T elementų suma yra T elementas;
3. baigtinio T elementų skaičiaus sankirta yra T elementas.

Tada pora (X, T) vadinama topologine erdve, o X_T žymi X su topologija T.

Atviri X poaibiai yra apibrėžti kaip T nariai. X poaibis yra uždaras, jei jo papildinys yra T aibėje (t.y., papildinys yra atviras). X poaibis gali būti a) atviras; b) uždaras; c) ir atviras, ir uždaras; d) nei atviras, nei uždaras.

Funkcija iš vienos topologinės erdvės į kitą vadinama tolydžia, jei atvirkštinis bet kurios atviros aibės atvaizdavimas yra atvira aibė [realių skaičių atveju šis apibrėžimas atitinka tolydžios funkcijos apibrėžimą matematinėje analizėje]. Jei tolydi funkcija yra abipus vienareikšmė, o atvirkštinė funkcija irgi tolydi, ji vadinama homeomorfizmu. Jei dvi erdvės yra homeomorfinės, jos laikomos topologiškai vienodomis.

Topologijos skyriai:

• Bendroji topologija, nagrinėjanti abstrakčią netrūkumo (tolydumo) sąvoką. Tiriami fundamentalieji topologijos klausimai, o taip pat atskiri klausimai, tokie, kaip jungtumas ir kompaktiškumas.
• Algebrinė topologija, nagrinėjanti netrūkumą (tolydumą) panaudojant algebrinius objektus, tokius, kaip homotopinės grupės ir homologijos, kohomologija ar homotopija.
• Geometrinė topologija. Nagrinėjanti daugdaras ir jų įtraukimą (komponavimą) į kitas daugdaras
• Diferencialinė topologija, tirianti glodžiuosius daugdaras ir glodžiuosius atvaizdžius iki pat difeomorfizmo. Ji pagrįsta algebrinės topologijos metodais.

Apibendrinimai

Kartais reikia panaudoti topologijos įrankius, tačiau negalima parinkti „taškų aibės“. Tada panaudojamas atvirų aibių gardelės, o Grothendieck‘o topologijos yra tam tikros struktūros, apibrėžtos pasirinktose kategorijose, leidžiančiose apibrėžti vientisas (jungias) sritis.

Erdvės formos
Ferma taškas
Tenzoriaus samprata
Kur viešpatauja chaosas?
Puankarė teiginio įrodymas
Parabolės lenktas likimas
Riči srautas ir tenzorius
Matematikos atgimimas Lietuvoje
Specialioji reliatyvumo teorija
Tjorstono geometrizacijos teiginys
Matematikos šlovė ir garbė
Visatos topologija: pradžiamokslis
Apie Tarskio skritulio kvadratinimą
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Egzotiškosios hipersferos - problema išspręsta
Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
Diagramos, pakeitusios pasaulį
Nėra paprastos visuotinės teorijos!
Ar mašina kada nors mąstys?
Žaidimų teorijos panaudojimas
Nepaprasti Visatos skaičiai
Scenoje - paprastos grupės
Revoliucija mazgų teorijoje
Šiuolaikiniai matematikai
Tūkstantmečio problemos
Vunderkindo iššūkiai
Ar viskas čia taip?
Smeilo paradoksas
Poetinė geometrija
Krafordo premija
Pirminiai skaičiai
Ferma teorema
Matroidai